Empezamos a recorrer el camino...

¡¡ Bienvenidos !!

 El objetivo de este blog es ayudarte a reconocer cuando una función es cuadrática, realizar su análisis completo y comprender su vinculación con múltiples aspectos de la vida cotidiana .

Empecemos a recorrer este camino juntos ...

Función cuadrática

Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas, son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros.

 Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos y múltiples aplicaciones en situaciones de la vida cotidiana..

Una función cuadrática representa un conjunto de valores (x, y), donde y = f(x) de la forma:

Su representación gráfica es una parábola en el plano cartesiano.

Elementos principales de la gráfica de una función cuadrática

Concavidad de la parábola

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava hacia arriba si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola cóncava hacia abajo si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax²)

·         Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba

·         Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo

Intersección de la parábola con el eje Y

Al igual que en las rectas, la parábola tiene una ordenada al origen, que es el valor que toma la función cuando "x" vale cero. Gráficamente corresponde al punto donde la curva corta al eje "y". Para obtener este punto obtenemos la imagen de  0 ; f(0) = a· 0² + b· 0 + c = c, por tanto tenemos que la intersección con el eje Y es el punto (0,c)

 Intersección de la parábola con el eje X

Cuando la gráfica intercepta al eje X, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0 = ax2 + bx + c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje X se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado.

Como las soluciones dependen del signo del discriminante, tenemos que:

·         Si ∆ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta al eje X, sino que se halla siempre por arriba o por debajo de dicho eje de abscisas    

·          Si ∆ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje X, es decir, lo intercepta en un solo punto Puede verse que la curva "rebota" sin cruzar el eje de abscisas, o sea que tiene su vértice sobre dicho eje.

·           Si ∆ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta al eje X en dos puntos.

Eje de simetría

Este eje se llama de simetría debido a que es una recta paralela al eje Y que divide a la parábola en 2 partes iguales, simétricas. Esto significa que estará ubicada en el punto del eje X de tal manera que sea el punto medio entre x₁ y x₂. La coordenada en x del vértice es la ecuación del eje de simetría de la parábola.

La ecuación del eje de simetría es     xv =-b/ 2.a

Vértice de la parábola

El vértice es un punto muy importante de una parábola: allí la función cuadrática pasa de ser creciente a decreciente, teniendo un máximo la función en ese punto; o pasa de ser decreciente a creciente teniendo un mínimo. El vértice de la parábola de ecuación y = ax² + bx + c es el punto de la función donde x toma el valor del eje de simetría, por lo tanto, el punto asociado al vértice de la función es     (-b/2.a ; f(xv)